Basic Stress Theory

 

■  강도 이론

소성이론(Plasticity Theory)은 항복응력(Yield Stress)을 초과하여 작용하는 하중에 의하여 재료의 변형상태에 따르기 때문에 궁극적으로 항복에 대한 응력은 간단한 인장시험에서의 응력-변형 선도에서 결정된다. 인장시험에서의 항복응력은 어떤 이론적인 함수에 따라 결정된다고 할 수 있으며, 일반적으로 항복에 대한 강도 이론은 연구자에 따라 여러가지가 있으나, 그 중에서 가장 많이 인용되는 것으로는 최대 주응력 이론, 최대 전단응력 이론, 전단 변형에너지 이론 등이 있다.

상기 세가지 이론이 모든 종류의 재료에 대한 강도 이론에 정확하게 맞는다고는 할 수 없으나 연성 재질의 금속에는 최대 전단응력이론이 실험치에 어느 정도 가까운 것으로 알려지고 있다.

I. 최대 전단응력 이론 (Maximum Shear Stress Theory)

이 이론은 Tresca Criterion 이라고도 하며, 어떤 응력 상태가 존재하는 시편에서 어떤 점에서의 최대 전단응력이 항복이 시작되는 인장시편의 최대 전단응력 값에 도달할 때 비탄성 변형(inelastic action)이 시작된다는 이론이다. 어떤 점에서 최대 전단응력은 세 개의 주응력 중 가장 큰 값과 작은 값의 대수차의 반이다. 즉, 주응력을 S1, S2, S3 라 하고 S1 > S2 > S3가 성립한다고 하면, 최대 전단응력은 (S1-S3)/2 이다. 인장시험(단축 응력)에서 항복응력을 Sy 라 하면, S1=Sy, S2=0, S3=0 이 되므로 최대 전단응력은 Sy/2 가 된다. 따라서 어떤 재료에서의 항복은 아래 공식과 같을 때 일어난다. 

       (S1 - S3) / 2 = Sy / 2   ------------------------------------------------------------------------------ (1)

   위 식의 양변에 2를 곱하면 최대 전단응력 이론에 의한 항복조건 식은 아래와 같이 된다. 

       (S1 - S3) = Sy   ------------------------------------------------------------------------------------- (2)

   ASME BPV Code Sec. III, NB 에서는 좌변의 S1-S3 즉, 세 주응력의 차 중에서 가장 큰 값을 응력강도 (Stress Intensity, 즉 Equivalent Intensity of Combined Stress 의 약어)라 정의하고, 인장시험의 항복강도 Sy (ASME BPV Code Sec. III, AppendixⅠ, Table I-2.0) 또는 설계 응력강도 Sm (AppendixⅠ, Table I-1.0)과 직접 비교 검토할 수 있도록 하였다.

   ※ Stress Intensity

      Stress intensity, Si  =  2 * Max[ τ ]  =  S1 - S3  =  [ (SL-Sh)^2 + 4τ^2 ]^(1/2)   --------------------------- (3)

   where SL : Longitudinal stress resulting mainly from bending moments and internal pressure
             Sh : Hoop stress resulting mainly from internal pressure, τ : mainly due to the torsion moment

II. 최대 주응력 이론 (Maximum Principle Stress Theory)

이 이론은 Rankine Theory 라고도 하며, 어떤 응력 상태가 존재하는 시편의 어떤 점에서 최대 주응력 (S1)이 인장시험에서 재료의 인장 항복응력에 도달했을 때 비탄성 변형이 시작된다는 것으로써, 다른 평면의 주응력이나 전단응력과 무관하다고 본 것이다. 즉, S1 = Sy 일 때 항복이 일어나면 이 이론은 취성재료와 같이 큰 소성변형이 일어나지 않는 경우에는 잘 적용될 수 있다. 그러나 연성재료의 항복에서는 큰 소성변형이 동반되고 이때는 전단응력이 중요한 역할을 하므로 최대 주응력 이외의 주응력도 항복에 큰 영향을 미친다. 따라서 이 이론은 최대 주응력이 다른 주응력에 비하여 대단히 큰 경우 이외에는 이용하기가 곤란하다.

III. 전단 변형 에너지 이론 (Distortion Energy Theory)

이 이론은 Octahedral Shear theory 또는 Von Mises Criterion 으로도 알려지고 있으며, 어떤 응력들이 조합된 시편의 어떤 점에서 흡수된 비틀림 변위 에너지량 (Strain Energy Density of Distortion) 값이 인장시편의 비틀림 변위량과 같이 되었을때 비탄성 변형이 시작된다는 이론이다. 세 방향의 주응력을 S1, S2, S3 라고 하면 비틀림 에너지는 

       U = (1 + ν) [(S1-S2)^2 + (S2-S3)^2 + (S3-S1)^2 ] / 6E   ---------------------------------------------- (4)

이며, 인장시험에서는 단축 응력이므로 S1=Sy, S2=0, S3=0 을 적용하면,

      U = (1 + ν) [Sy^2 + Sy^2 ] / 6E  =  (1 + ν) [Sy^2] / 3E   ----------------------------------------------- (5)

이다. 여기에서, 식 (3)과 식 (4)가 같다고 가정할 때 비탄성변형이 시작되므로 

      (1 + ν) [Sy^2] / 3E = (1 + ν) [(S1-S2)^2 + (S2-S3)^2 + (S3-S1)^2 ] / 6E  ------------------------------- (6)

가 되고, 따라서 전단 변형 에너지 이론에 의한 항복 조건은 아래와 같게 된다.

      ∴ Sy^2 = [(S1-S2)^2 + (S2-S3)^2 + (S3-S1)^2 ] / 2  -------------------------------------------------- (7)

이 이론은 실험결과와 가장 잘 일치하는 것으로 알려져 있지만, 항복 조건식이 복잡하여 적용하는데 불편한 단점이 있다.

IV. 강도이론의 상호 비교

이상과 같이 세가지 강도이론을 설명하였는데 2축 응력상태에서 이를 도형으로 나타낸 것이 아래 그림이다. 이 그림에서 보듯이 최대 전단응력 이론(Tresca)과 전단 변형 에너지 이론(Von Mises)은 매우 근사한 결과를 보여주고 있는데, ASME Boiler & Pressure Vessel Code 에서는 전단 변형 에너지 이론(Von Mises)보다 적용 공식이 간단하고 안정적인(conservative) 결과를 보여주는 최대 전단응력 이론(Tresca)을 채택하고 있는데 반하여, ASME B31.3 Process Piping Code에서는 최대 주응력(Max. Stess) 이론을 채택하고 있다.