Piping Stress Theory

■ Basic Stress of Materials

  I. Normal Stress (S or σ)
      The componet of stress normal to the plane of reference.
      Usually the distribution of normal stress is not uniform through the thickness of a part,
      so this stress is considered to be made up in turn of two components, one of which is
      uniformly distributed and equal to the average value of stress across the thickness of
      the section under consideration and the other of which varies with the location across
      the thickness.

I-I. Longitudinal Stress (SL)
          -. Internal Force Stress : SLf = F / A  →  Uniform across the cross section  → Generally insignificant
          -. Internal Pressure Stress (Uniform) : SLp = P*D / 4T  →  Uniform across the cross section
          -. Longitudinal Bending Stress : SLb = M / Z  →  Linearly distributed in the diametrical direction
          -. SL = F / A  +  P*D / 4T  +  M / Z

I-II. Radial Stress, Sr = P*(Ri*Ri - Ri*Ri*Ro*Ro/R*R) / (Ro*Ro -Ri*Ri)  →  Linearly distributed
          -. Pipe 외부의 압력이 없는 경우, Sr 은 Pipe 내부 표면에서 최대가 되고 외부 표면에서 "0"이 된다.
             그런데, Pipe 외부 표면에서 Bending Stress가 최대가 되기 때문에 일반적으로 Sr 은 무시한다.
          -. Pipe 에 외압 P가 작용하는 경우, Pipe 외부 표면에서 Sr = -P (Off Shore Piping)
      I-III. Hoop Stress (Circumferential Bending Stress) : Shp = P*R / 2T  →  Linearly distributed


  II. Shear Stress (τ)
      The component of stress tangent to the plane of reference.

II-I. Shear Force 에 의한 응력
          -. τ max = V*Q / A (Where, Q : Shear Form Factor)  →  Generally insignificant

 II-II. Torsion 에 의한 응력
          -. τ max = M / 2Z



■ Stress Classification

  I. Failure Modes of Materials
     - 과도한 소성 변형 (Excessive Plastic Deformation)
     - 과도한 탄성 변형 (Excessive Elastic Deformation including Elastic Instability)
     - 취성 파괴 (Brittle Fracture)
     - 응력 파열 (Stress Rupture) or Creep Deformation (Inelastic)
     - High Strain Low Cycle Fatigue
     - Plastic Instability (Incremental Collaps)

  위와 같은 파손이 발생하는 데는 각종 응력이 원인이 되었을 것이라는 사실은 누구나 쉽게 생각할 수 있을 것이다. 배관 내에 작용하고 있는 각종 응력은 응력의 종류 및 형태에 따라 배관의 파손에 미치는 영향이 크게 다르므로 응력에 대하여 정확하게 이해를 하지 않고서는 배관의 구조적 안전성 평가를 할 수가 없다. 설계자가 해석적으로 계산한 응력의 값은 그 응력의 크기, 위치, 방향, 분포 상태 및 그 응력을 발생시킨 하중의 종류를 관련시켜 생각하지 않는 한 의미가 없다. 즉, 서로 다른 응력의 형태는 서로 다른 응력 한계를 필요로 하며, 결과적으로 응력을 여러가지 범주로 나누어서 생각할 수 밖에 없다.

  ASME Code에서 규정하고 있는 응력 범주는 크게 다음과 같이 세가지로 나눌 수 있다.
     - 일차응력 (Primary Stress)
     - 이차응력 (Secondary Stress)
     - 절정응력 (Peak Stress)

 

II. 일차응력 (Primary Stress, P)

일차응력은 배관의 하중에 의하여 발생하는 Normal Stress 중에서, 내부나 외부에서 가해지는 힘 또는 모멘트와 평형을 유지하기 위하여 발생하는 응력을 말한다. (A Normal stress developed by imposed loading which is necessary to satisfy the laws of equilibrium of external and internal forces and moments.) 이 응력의 특징은 자율성(Self-limiting)이 없다. 즉 응력은 외부하중이 작용하는 한 존재하며 변형이 발생하더라도 감소하지 않는다. 예로, 배관에 내압이 발생하면 배관 면에 응력이 발생하고 배관의 직경이 증가하게 되는데 이러한 결과가 압력을 감소시키지는 않는다. 일차응력이 항복강도를 초과할 경우 소성변형이나 파괴가 발생한다.

     II-I. Membrane Stress : Uniform Normal Stress
          The component of normal stress which is uniformly distributed and equal to the average 
          value of stress across the thickness of the section under consideration.

  II-I-I. General Primary Membrane Stress (Pm)
            -. 단면의 두께를 따라 균일하게 분포되어 있는 평균 응력.
            -. 자율성이 없어 응력의 재분배가 불가능하기 때문에 큰 소성변형을 일으킬 수 있다.
            -. The average value of the repective stress components distributed over the section governing
               the load-bending behaviour defined by the supportig line segment.
            -. Membrane stress away from any discontinuity.
            -. Primarily due to internal pressure
            -. Stress in a circular cylindrical or spherical shell due to internal pressure or to distributed live loads.

  II-I-II. Local Primary Membrane Stress (PL)
            -. 구조물의 불연속부에서 국부적으로 발생하는 응력.
            -. 응력의 재분배를 통해 주위에 하중을 전달하는 과정에서 큰 변형을 발생시킬 수 있다.
            -. Membrane stress near a discontinuity.
            -. Cases arise in which a membrane stress produced by pressure or other mechanical laoding and associated
               with a discontinuity would, if not limited, produce exessive distortion in the transfer of loading to other
               portions of the structure.
            -. Conservatism requires that such a stress be classified as a local primary membrane stress even though it
               has some characteristics of a secondary stress.
            -. Stress in a shell produced by external load and moment at a support or at a nozzle connection.

     II-II. Bending Stress : Linear Normal Stress (Pb)
            -. Primary stresses distributed lineary across the considered section and proportionally to the distance
               from the neutral axis.
           

III. 이차응력 (Secondary Stress, Q)

이차응력은 구조물의 자기 구속(Self-Constraint) 또는 주변 물질(Adjacent Material)에 의해 구속될 때 발생되는 응력이다. 이것은 외력에 대한 평형을 유지하기 위하여 발생하는 것이 아니라 주어진 변형도 형태(Strain Pattern)를 만족시키기 위해서 발생하는 응력으로 자율성(Self-limiting)을 가진다. 이 응력은 국부적인 항복 또는 작은 변형이 생기면 응력이 유리하게 재분배되므로, 재료에 항복응력보다 큰 응력이 작용하더라도 이 응력의 한번 작용으로는 파괴가 일어나지 않는다. 이차응력을 발생시키는 하중은 일정한 변형 또는 변형율을 발생한다는 관점에서 그 자체가 자율성이 있으며 이 응력의 발생은 변형율이 구속됨에 기인한다. 이것이 이차응력과 일차응력을 구분하는 특성이며 각각의 응력들을 다른 범주로 취급하는 이론적 근거이다.

     III-I. General Thermal Stress
            -. Neglecting stress concentration.
            -. Stress produced by an axial temperature distribution in a cylindrical shell.
            -. Stress produced by the temperature difference between a nozzle and the shell to which it is attached.
            -. The equivalent linear stress produced by the radial temperature distribution in a cylindrical shell.

     III-II. 불연속 부위(Gross Structural Discontinuity)에서의 Bending Stress
            -. The bending stress at dished end to shell junctions

IV. 절정응력 (Peak Stress, F)

절정응력은 일차 응력과 이차 응력에 더해지는 추가적인 응력으로 응력집중, 국부적 불연속부(Local Discontinuity)에 기인한다. 이 응력은 큰 변형을 일으키지는 않으나 피로균열(Fatigue Crack)이나 취성파열(Brittle Fracture)의 원인이 될 수 있다. 예로, 열충격에 의한 열천이 응력 (Thermal Transient Stress), 국부적인 불연속부(Notch, 균열 등)에서의 응력, 또는 팽창이 억제되어 피로의 원인이 될 수 있는 열응력 등이다. 절정응력에서의 한계치는 반복 하중에 의한 피로 파손을 방지하기 위한 것이다.

     IV-I. A stress which is not highly localized if it is a type which can't cause noticeable distortion.
            -. The stress at a local structural discontinuity

     IV-II. Local Thermal Stress
            -. Associated with almost complete suppression of the differential expansion 
            -. Produce no significant distortion
            -. The stress in a small hot spot in a vessel wall
            -. The difference between the actual stress and the equivalent linear stress resulting from a raidal
               temperature distribution in a cylindrical shell
            -. The thermal stress in the wall of a pipe caused by a ripid change in temperature of the contained fluid
            -. The thermal stress in the austenitic steel cladding of a carbon steel vessel

IV. 이차응력 한계 (Secondary Stress Limit)

이차응력의 한계는 하중에 대한 재료의 Shakedown 개념과 밀접한 관계가 있다. 이차응력을 받는 재료에 대하여 극한 설계이론을 도입하면 아래 그림과 같은 응력-변형률 선도를 작도할 수 있다.
아래 그림에서 항복 변형도 εy 보다 크면서 2εy 보다 작은 변형도 ε1 이 되도록 하중을 적용하면, 그림에서 OAB의 궤적을 따라 재료가 거동하며, 이때 공칭 응력치는 S1 = E · ε1 > Sy로 된다.
이차응력의 경우, 하중의 특성상 반복하중에 대하여 응력치가 O → S1 → O로 변한다기 보다 O → ε1 → O 으로 변한다고 가정한다. 그러므로 만일 재료가 본래의 위치로 돌아왔을 경우 (ε = 0), 재료에는 크기가 S1-Sy인 압축성 잔류응력 (Residual Stress)이 생긴다. 이때 재차 하중을 가하게 되면 압축성 잔류응력은 서서히 소멸되고 다시 인장응력이 시작된다. 이러한 일련의 과정은 탄성적 거동과 동일하므로, 결국 탄성영역이 2Sy까지 확대되는 셈이 된다. 아래 그림과 같이 S1 > 2Sy에 해당하는 변형도 ε1 만큼 되도록 하중을 가하면 변형도 EF 만큼의 항복이 일어나며, 반복하중을가할경우 하중을 가할 때마다 소성변형이 일어난다. 그러므로 이차응력의 탄성한계는 2Sy가 되며, 이렇게 순수 탄성영역에서 변하는 2차 탄성응력을 Shakedown이라 한다. 따라서, 이차응력의 한계는 이것으로 결정할 수 있다. 
     일차 굽힘응력의 경우 항복이 시작되는 응력준위는 Sy이지만 재료의 파단점은 1.5Sy로, 결국 허용 설계응력은 Sy로 결정될 수 있는 것과 동일하게, 이차응력의 경우 2Sy는 항복의 시작점이라 할 수 있으므로 2Sy를 이차응력의 한계로 설정할 수 있는 것이다.